Question

вычислите сумму a^2003+1/a^2003, если a^2-a+1=0

Answer 1

$a^{2003}+frac{1}{a^{2003}}=?\ a^2-a+1=0$

$D=1-4*1*1=isqrt{3}\ x_{1}=frac{1+isqrt{3}}{2}\ x_{2}=frac{1-isqrt{3}}{2}$
теперь для каждого значения найдем 
$(frac{1+isqrt{3}}{2})^{2003}+frac{1}{(frac{1+isqrt{3}}{2})^{2003}}$
переведем  в тригонометрическую основу 
$frac{1+isqrt{3}}{2}=x+iy\ x=0.5\ y=0.5sqrt{3}\ \ r=sqrt{0.5^2+(0.5sqrt{3})^2}=1\ tg alpha =frac{y}{x}=sqrt{3}\ a=60а\ z=1*(cos60а+i*sin60а)$
воспользуемся  формулой Муавра 
$(cos60а+i*sin60а)^{2003}+frac{1}{(cos60а+i*sin60а)^{2003}}\ \ (cos60а+i*sin60а)^{2003}=z^{2003}\ z^{2003}=cos(2003*60)+i*sin(2003*60)=0.5+0.5sqrt{3}*i\ z^{-2003} = frac{1}{frac{1+sqrt{3}i}{2}}=frac{2}{1+isqrt{3}} = frac{2(1-isqrt{3})}{1-i^2*3}=\ frac{1-isqrt{3}}{2}\ a^{2003}+a^{-2003}=frac{1+sqrt{3}i}{2}+frac{1-sqrt{3}i}{2}=1$
а второй со знаком уже -1
Ответ 1 или -1