Question

Обьем конуса равен 3. Найдите обьем вписанного в конус правильной четырехугольной пирамиды.
Ответы:
а) 6/пи
в) 4/пи
с)
$\frac{3 \sqrt{3} }{4\pi?}$
д) 8/пи
е) 9/пи​

Answer 1

Ответ: а) 6/π

Пусть H – высота конуса и высота пирамиды, R – радиус основания конуса и радиус описанной около основания пирамиды окружности. Найдем отношение объема вписанной пирамиды к объему конуса.

Объём конуса, и объём пирамиды вычисляются по формуле:

V = 1/3 Sосн·Н

Так как в основании конуса – круг, то Sосн. конуса = πR²

Так как по условию четырехугольная пирамида правильная, то в основании – квадрат, следовательно Sосн. пирамиды = а²

Vп/Vк = 1/3 а²H / 1/3πR²H = а² / πR²

Площадь квадрата равна половине квадрата длины его диагонали:

S = d²/2, d = 2R, S = (2R)²/2 = 2R², тогда:

Vп/Vк = а² / πR² = 2R² / πR² = 2/π

Так как по условию задачи объём конуса равен 3, то Vп/3 = 2/π, Vп = 6/π

Ответ:  6/π