Question

Решить задачу коши для системы линейных дифференциальных уравнений

Answer 1

Пошаговое объяснение: Решать будем с помощью преобразования Лапласа. Т.е. будем находить изображение функции (оригинала). При этом будем пользоваться теоремой о дифференцировании

$\[f^n (t) = p^n F(p) - \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {p^{n - 1 - k} f^k (0)} \]$

Тогда производные x' и y' будут иметь вид

$\[\begin{array}{l} x' = pX(p) - x(0) \\ y' = pY(p) - y(0) \\ \end{array}\]$

Получаем систему уравнений (учитывая теорему о линейности)

$\[\left\{ \begin{array}{l} pX(p) - x(0) = 2X(p) + Y(p) \\ pY(p) - y(0) = - 6X(p) - 3Y(p) \\ \end{array} \right.\]$

Начальные условия x(0) и y(0) нам известны, поэтому не трудно будет решить данную НСЛДУ

$\[\left\{ \begin{array}{l} X(p) = \frac{{2Y(p) + x_0 }}{{p - 2}} \\ Y(p) = \frac{{y(0) - 6X(p)}}{{p + 3}} \\ \end{array} \right. \Rightarrow Y(p) = \frac{{1 - 6\left[ {\frac{{2Y(p) + x_0 }}{{p - 2}}} \right]}}{{p + 3}} = \frac{{p - 2 - 12Y(p) + 12}}{{\left( {p - 2} \right)\left( {p + 3} \right)}}\]$

Последний шаг - с помощью метода неопределенных коэффициентов разбить на простейшие дроби и закончить задачу с помощью обратного преобразования Лапласа.

Удачи!)