Трапеция 150 см² , в которой есть углы 90° и 150°, описана около окружности. Найдите радиус окружности.
Аноним:
Высота трапеции h=2r, площадь S=(a+b) ×h/2.
Если можно вписать окружность, то а+b=h+d, a, b - основы, h, d-боковые стороны. Одна боковая сторона это высота h, другую находим из прямоугольного треуг, что образован высотой, проведённой с тупого угла и второй боковой стороной.
150°-90°=60° угол (сверху),тогда при нижнем основании угол 90-60=30°. Напротив катета угол 30°, следовательно гипотенуза d=2h. Отсюда а+b=h+2h=3h
Подставим в формулу площади 3h×h/2=150, h^2=100, h=10 (см), r=10:2=5 (см)
Ответы
Ответ дал:
1
Дана прямоугольная трапеция с тупым углом 150° и площадью 150 см².
Примем радиус искомой вписанной окружности за r.
Находим верхнее основание b.
b = r + (r*tg (180° - 150°)/2) = r + r*tg 15° = r(1 + tg 15°).
Тангенс половинного угла
tan α /2 = ± √ ((1 − cos α) /(1 + сos α )) = sin α /(1 + cos α ) =
= (1 − cos α )/sin α
Находим tg 15° = (1 -(√3/2))/(1/2) = 2 - √3.
Тогда b = r(1 + 2 - √3) = r(3 - √3).
Так как высота трапеции равна 2r, то нижнее основание с равно:
с = b + (2r/tg 30°) = r(3 - √3) + (2r/(1/√3)) = r(3 - √3 + 2√3) = r(3 + √3).
На основе формулы площади трапеции составляем уравнение:
2r*((r(3 - √3) + r(3 + √3))/2) = 150.
Получаем r²*6 = 150, откуда r = √(150/6) = √25 = 5 ед.
Ответ: r = 5 ед.
Вас заинтересует
1 год назад
1 год назад
1 год назад
6 лет назад
6 лет назад
8 лет назад
8 лет назад