Question

Дано равенство а^2+б^2+с^2=аб+ас+бс. Нужно доказать, что это равенство выполнится тогда и только тогда, если а=б=с.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Домножим левую и правую часть на 2 и перенесем всё в левую часть:

$2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2ac-2bc=0;$

$a^2 - 2ab + b^2 + a^2 - 2ac + c^2 + b^2 - 2bc + c^2 = 0;$

$(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2 = 0.$

Так как квадрат выражения на множестве действительных чисел - число неотрицательное, то это равенство возможно тогда и только тогда, когда каждое из слагаемых равняется 0:

$a - b=0 , a-c=0, b-c=0.$ Откуда приходим к равенству всех величин.