Question

Решите уравнение: cos^2 х – 1 = sin^2 х. подробно пожалуйста...

Answer 1

${cos}^{2} x - 1 = {sin}^{2} x \\ {cos}^{2} x - {sin}^{2} x = 1$

Согласно основному тригонометрическому тождеству:

${cos}^{2} x + {sin}^{2} x = 1$

Отсюда получаем систему уравнений:

${cos}^{2} x + {sin}^{2} x = 1 \\ {cos}^{2} x - {sin}^{2} x = 1$

Сложим эти уравнения:

$2 {cos}^{2} x = 2 \\ {cos}^{2} x = 1$

Решений два.

Первое:

$cosx = - 1 \\ x = \pi + 2\pi \: k$

Второе:

$cosx = 1 \\ x = 0 + 2\pi \: k = 2\pi \: k$

Синус при обоих решениях равен 0, поэтому наша система уравнений выполняется. Если совместить полученные решения, имеем:

$x = \pi \: k$

где k = 0, 1, 2, ...

Ответ: х = πk, k принадлежит множеству натуральных чисел.