Question

ОЧЕНЬ МНОГО БАЛЛОВ!
1) Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на промежутке: $F(x) = \frac{1}{2} cos 2x, f(x) =-sin2x$, x ∈ R

2) Докажите, что функция F есть первообразная для функции f на промежутке: $F(x)=sin^{2} x, f(x) = sin2x$, x ∈ R

Answer 1

Если функция F есть первообразная для функции f, то функция f является производной для функции F. Проверим это:

$F'(x)=\left(\dfrac{1}{2} \cos2x\right)'=\dfrac{1}{2}\cdot(-\sin2x)\cdot(2x)'=-\dfrac{1}{2}\sin2x\cdot2=-\sin2x=f(x)$

Указанное соотношение выполняется.

$F'(x)=\left(} \sin^2x\right)'=2\sin x\cdot(\sin x)'=2\sin x\cdot\cos x=\sin2x=f(x)$

Указанное соотношение выполняется.