Question

Помогите решить , пожалуйста(неравенства)

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

а) 3ˣ⁻¹>3·5ˣ⁻²

Допустим:

3ˣ⁻¹=3·5ˣ⁻²

3ˣ⁻¹/3=5ˣ⁻²

3ˣ⁻¹⁻¹=5ˣ⁻²

3ˣ⁻²=5ˣ⁻²

3ˣ⁻²=5ˣ⁻²

x-2=0

x=2

При x>2: 3³⁻¹>3·5³⁻²; 3²>3·5; 9<15 - неравенство не выполняется.

При x<2: 3¹⁻¹>3·5¹⁻²; 1>3/5; 1>0,6 - неравенство выполняется.

Следовательно, x∈(-∞; 2).

б) 2ˣ⁺³-2ˣ⁺²<3ˣ⁺²

Допустим:

2ˣ⁺³-2ˣ⁺²=3ˣ⁺²

2ˣ(2³-2²)=3ˣ⁺²

2ˣ·4=3ˣ⁺²

2ˣ⁺²=3ˣ⁺²

x+2=0; x=-2

При x>-2: 2⁻¹⁺³-2⁻¹⁺²<3⁻¹⁺²; 4-2<3; 2<3 - неравенство выполняется.

При x<-2: 2⁻³⁺³-2⁻³⁺²<3⁻³⁺²; 1 -1/2<1/3; 3/6>2/6 (3>2) - неравенство не выполняется.

Следовательно, x∈(-2; +∞).

в) 4·9ˣ-13·6ˣ+9·4ˣ<0

Допустим:

4·9ˣ-13·6ˣ+9·4ˣ=0   |4ˣ

4·(9/4)ˣ-13·(6/4)ˣ+9·(4/4)ˣ=0

4·(9/4)ˣ-13·(3/2)ˣ+9=0; (3/2)ˣ=t

4t²-13t+9=0; D=169-144=25

t₁=(13-5)/8=8/8=1; (3/2)ˣ=1; (3/2)ˣ=(3/2)⁰; x₁=0

t₂=(13+5)/8=18/8=9/4=(3/2)²; (3/2)ˣ=(3/2)²; x₂=2

При x>0: 4·9¹-13·6¹+9·4¹<0; 36-78+36<0; 72-78<0; -6<0 - неравенство выполняется.

4·9³-13·6³+9·4³<0    |4

729-13·54+9·16<0; 729-702+144<0; 171>0 - неравенство не выполняется.

При x<2: 4·9¹-13·6¹+9·4¹<0; -6<0 - неравенство выполняется.

Следовательно, 0<x<2⇒x∈(0; 2).

Answer 2

Ответ:

$1)\ \ 3^{x-1}>3\cdot 5^{x-2}\ \ ,\ \ \ 3^{x-1}>3\cdot 5^{x-1}\cdot \dfrac{1}{5}\ \ \ ,\ \ \ \dfrac{3^{x-1}}{5^{x-1}}>\dfrac{3}{5}\ \ ,\\\\\\\Big(\dfrac{3}{5}\Big)^{x-1}>\Big(\dfrac{3}{5}\Big)^1\ \ \ \Rightarrow \ \ \ x-1<1\ \ .\ \ x<2\ \ ,\ \ \underline {\ x\in (-\infty ;2)\ }$

$2)\ \ 2^{x+3}-2^{x+2}<3^{x+2}\\\\2^{x}\cdot 8-2^{x}\cdot 4<3^{x}\cdot 9\ \ ,\ \ \ 4\cdot 2^{x}<9\cdot 3^{x}\ \ \ ,\ \ \ \dfrac{2^{x}}{3^{x}}<\dfrac{3^2}{2^2}\ \ ,\\\\\Big(\dfrac{2}{3}\Big)^{x}<\Big(\dfrac{2}{3}\Big)^{-2}\ \ \Rightarrow \ \ \ x>-2\ \ ,\ \ \underline{\ x\in (-2;+\infty )\ }$

$3)\ \ 4\cdot 9^{x}-13\cdot 6^{x}+9\cdot 4^{x}<0\\\\4\cdot (3^{x})^2-13\cdot 3^{x}\cdot 2^{x}+9\cdot (2^{x})^2<0\ |:(2^{x})^2\\\\4\cdot \Big(\dfrac{3}{2}\Big)^{2x}-13\cdot \Big(\dfrac{3}{2}\Big)^{x}+9<0\\\\t=\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^{x}>0\ \ ,\ \ \ 4t^2-13t+9<0\ \ ,\ \ D=25\ ,\ \ t_1=1\ \ ,\ \ t_2=\dfrac{9}{4}\\\\4\Big(t-1\Big)\Big(t-\dfrac{9}{4}\Big)<0\ \ ,\ \ \ (t-1)(4t-9)<0\ \ ,\\\\znaki:\ \ +++(1)---(\frac{9}{4} )+++$

$1<t<\dfrac{9}{4} \ \ \ \Rightarrow \ \ \ 1<\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^{x}<\dfrac{9}{4}\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \Big(\dfrac{3}{2}\Big)^0<\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^{x}<\Big(\dfrac{3}{2}\Big)^2\\\\\\0<x<2\ \ \ \Rightarrow \ \ \ \underline {\ x\in (\, 0\, ;\, 2\, )\ }$