Question

Доказать, что 12^21+15^24 делится на 243
Доказать, что 25^123456789+1 делится на 601

Answer 1

$12^{21}+15^{24}=(3*4)^{21}+(3*5)^{24}=3^5(4^{21}*3^{16}+5^{24}*3^{19})=(243*(4^{21}*3^{16}+5^{24}*3^{19}))\;\;\vdots\;\; 243$

_____________________________________

Заметим: $25^3+1=25^3+1^3=(25+1)(25^2-25*1+1^2)=26*601=>25^3\equiv -1(mod\; 601)$

$123456789\equiv (1+2+3+4+5+6+7+8+9)(mod\;3)=\dfrac{1+9}{2}*9=45\equiv 0 (mod\;3)$

123456789 и 3 - числа нечетные. Тогда их частное число нечетное. $(-1)^{2k+1}=-1\;\forall \; k\in Z$

Тогда $25^{123456789}+1=(25^3)^\frac{123456789}{3}+1\equiv (-1)^\frac{123456789}{3}+1(mod\; 601)=-1+1=0$ - Ч.т.д.

_____________________________________

Использованы свойства сравнения чисел по модулю