Question

помогите с неравенством

Answer 1

ОДЗ:

$\left \{ {{{x-2>0} \atop {x^2-x+2 >0}} \right.$    $\left \{ {{{x>2} \atop {D=1-4\cdot 2<0 \right.$     $\left \{ {{{x>2} \atop {x \in (- \infty; \infty) \right.$        

х∈(2;+∞)

Так как

$log_{\frac{1}{2}}(x-2)=log_{2^{-1}}(x-2)=-log_{2}(x-2)$

и

$\frac{log_{3}(x^2-x+2)}{log_{9}4}= \frac{log_{3}(x^2-x+2)}{log_{3^2}2^2}=\frac{log_{3}(x^2-x+2)}{\frac{2}{2}\cdot log_{3}2}= \frac{log_{3}(x^2-x+2)}{ log_{3}2}= log_{2}(x^2-x+2)$

Неравенство принимает вид:

$-2log_{2}(x-2)+log_{2}(x^2-x+2)\geq 1$

$log_{2}(x^2-x+2)-log_{2}(x-2)^2\geq 1$

$log_{2}\frac{x^2-x+2}{(x-2)^2}\geq log_{2}2$

Логарифмическая функция с основанием 2 > 1  возрастающая.

Большему значению функции соответствует большее значение аргумента

$\frac{x^2-x+2}{(x-2)^2}\geq2$

$\frac{x^2-x+2}{(x-2)^2}-2\geq0$

$\frac{x^2-x+2-2x^2+8x-8}{(x-2)^2}\geq0$

$\frac{-x^2+7x-6}{(x-2)^2}\geq0$

(x-2)² >0  при любом х, принадлежащем ОДЗ

$-x^2+7x-6 \geq 0$

$x^2-7x+6 \leq 0$

$(x-1)(x-6) \leq 0$

1 ≤x≤6

C учетом ОДЗ получаем ответ:

(2; 6]