Через середину высоты равнобедренного треугольника проведены две прямые, соединяющие ее с вершинами основания. Какую часть площадь треугольника составляет каждая из шести частей, на которые эти прямые разрезают треугольник?
Ответы
Ответ:
Дано: ΔABC : AB=BC; BH⊥AC; BO=OH
Найти:
ΔABC - равнобедренный, высота BH является медианой и биссектрисой
⇒ AH = HC ⇒ ΔABH = ΔCBH - по двум катетам. Дальше можно рассматривать только одну половинку равнобедренного треугольника.
У треугольников AOK и BOK одинаковая высота OM. Поэтому их площади будут пропорциональны основаниям AK и KB. Чтобы найти отношение АК:КВ, достроим треугольник ABH до прямоугольника ALBH. LB=AH; AL=BH; LB║AH; AL║BH
∠AKL=∠OKB - вертикальные углы.
∠LAK=∠OBK - накрест лежащие углы при AL║BH и секущей АВ. ⇒
ΔAKL ~ ΔBKO подобны по двум углам:
Ответ: площади двух треугольников при основании равны и составляют 1/4 часть площади равнобедренного треугольника;
площади двух треугольников при вершине равны и составляют 1/12 часть площади равнобедренного треугольника;
площади двух треугольников при боковых сторонах равны и составляют 1/6 часть площади равнобедренного треугольника.