Question

Доказать, что неравенство верно при любом действительном значении переменной: $(2^x-1)(3^x-1)\leq \dfrac{x}{2}(6^x-1)$

Answer 1

Задачка очень специфическая, но интересная.

Необходимо доказать неравенство:

(2^x -1)*(3^x -1) <= x/2 *( 6^x -1)

Сразу заметим уникальное свойство данного неравенства:

Пусть мы доказали, что неравенство выполнено для x0

(2^x0 -1)*(3^x0 -1) <= x0/2 *( 6^x0 -1)

Поделим обе части неравенства на 6^x0 >0, деля  первую и вторую скобку слева  на 2^x0 и 3^x0

(1 - 2^(-x0) ) *( 1-3^(-x0) ) <= x0/2 * (1-6^(-x0) )

(2^(-x0) -1)*(3^(-x0) -1) <= -x0/2 *( 6^(-x0) -1)

Иначе говоря, если неравенство справедливо для x0, то оно справедливо и для  -x0.

Таким образом, достаточно доказать справедливость неравенства для x>=0 , чтобы доказать, что оно справедливо для всех действительных x.

Раскрываем скобки:

6^x -2^x - 3^x + 1 <= x/2 * 6^x  - x/2

Сделаем замену для удобства : x/2 = t >=0

6^(2t) -2^(2t) -3^(2t)+1 - t*6^(2t) +t <=0

6^(2t) *(t-1) +2^(2t) +3^(2t)  -t -1 >= 0

Преобразуем:

2^(2t) +3^(2t) = ( 2^t  -3^t ) ^2 + 2* 2^t * 3^t = ( 2^t  -3^t ) ^2 +2* 6^t

6^(2t) *(t-1) + 2* 6^t  -t -1 +  ( 2^t  -3^t ) ^2 >=0

6^(2t)*(t-1) +2*6^t - (t-1) -2  +  ( 2^t  -3^t ) ^2 >=0

(t-1) * ( 6^(2t) -1)  +2*(6^t -1) + ( 2^t  -3^t ) ^2 >=0

(t-1) * (6^t -1) *(6^t +1)  +2*(6^t -1) + ( 2^t  -3^t ) ^2 >=0

(6^t - 1) * ( (t-1)*(6^t +1) +2) + ( 2^t  -3^t ) ^2 >=0

при t>=0

6^t - 1 >=0

( 2^t  -3^t ) ^2 >=0

Докажем, что :

f(t) =(t-1)*(6^t +1) +2 >= 0 , при t>=0  

при t>1 неравенство очевидно, а вот для 0<=t<=1 доказательство далось очень нелегко.

При  0<=t <1

cправедливо разложения в ряд Тейлора:

ln( (1+t)/(1-t) ) = 2* ( t +t^3/3 +t^5/5+...+t^(2n-1)/(2n-1)+...)

Поскольку : t>=0

Справедливо неравенство:

ln( (1+t)/(1-t) ) >= 2t

Заметим, что  2>ln(6)

Действительно :  тк  2,5 < e  

log(2,5 ; 6) > ln(6)

log(2,5 ; 6) <2 , тк (2,5)^2 =6,25>6

2>log(2,5 ; 6) > ln(6)

Поскольку t>=0

ln( (1+t)/(1-t) ) >= 2t > t*ln(6)

Поскольку e>1

e^(ln( (1+t)/(1-t) )) >= e^(t*ln(6) )

(1+t)/(1-t) >= 6^t  - очень оригинальное неравенство.

Тк t<1 , то 1-t>0 , значит на него можно умножить обе части неравенства:

(1+t)>=6^t *(1-t)

6^t *(t-1) +1+t >=0

6^t*(t-1) +t-1 +2 >=0

(6^t+1)*(t-1) +2 >=0,  для 0<=t< 1 - получилось :)

Отдельно проверим это неравенство для t=1

2>=0 - верно

При t=0 выполняется равенство :

(1+1)*(-1) +2 = 0

Таким образом неравенство:

(6^t - 1) * ( (t-1)*(6^t +1) +2) + ( 2^t  -3^t ) ^2 >=0

доказано для t>=0 , а значит:

(2^x -1)*(3^x -1) <= x/2 *( 6^x -1)  доказано для любого x>=0, но согласно описанному в начале замечательному свойству, оно справедливо и для x<0.

То есть неравенство:

(2^x -1)*(3^x -1) <= x/2 *( 6^x -1)  доказано для всех действительных x.

ЧТД