Question

Написать уравнение эллипса, проходящего через точку пересечения гиперболы x^2-y^2=2 с прямой x+y-2=0, если известно, что фокусы эллипса совпадают с фокусами гиперболы 3y=+-x

Answer 1

Находим точку пересечения гиперболы и прямой:

$\left \{ {{x^2-y^2=2} \atop {x+y=2}} \right.$      $\left \{ {{x^2-(2-x)^2=2} \atop {y=2-x}} \right.$      $\left \{ {{x^2-4+4x-x^2=2} \atop {y=2-x}} \right.$       $\left \{ {{4x=6} \atop {y=2-x}} \right.$

$\left \{ {{x=1,5} \atop {y=0,5}} \right.$

Найдем фокусы гиперболы

$x^2-y^2=2$

$\frac{x^2}{2} -\frac{y^2}{2} =1$

$a^2=2\\\\b^2=2$

$c^2=b^2+a^2=2+2=4$

F₁(-2;0)  и  F₂(2;0)

Фокусы эллипса :F₁(-2;0)  и  F₂(2;0)  ⇒  с²=4

Уравнение эллипса:

$\frac{x^2}{a^2} +\frac{y^2}{b^2} =1$

$b^2=a^2-c^2$   ⇒    $b^2=a^2-4$

Эллипс проходит через точку (1,5; 0,5)

Подставляем координаты точки в уравнение эллипса:

$\frac{1,5^2}{a^2} +\frac{0,5^2}{b^2} =1$

И решаем систему двух уравнений:

$\left \{ {{\frac{1,5^2}{a^2} +\frac{0,5^2}{b^2} =1} \atop {b^2=a^2-4}} \right.$

$\frac{2,25}{a^2} +\frac{0,25}{a^2-4} =1$

$a^4-6,5a^2+9=0$

D=42,25-36=6,25

a²=2   или    a²=4,5

При a²=2  

b²=2-4 < 0  не удовл  условию.

При a²=4.5  

b²=4,5-4 =0,5

О т в е т.  $\frac{x^2}{4,5} +\frac{y^2}{0,5} =1$