Question

Решить уравнение #18 и #19

Answer 1

18. Поскольку $(x^2-x-6)^2\geq 0$ и $(\log_9x-0.5)^2\geq 0$, левая часть может равняться 0 только тогда, когда оба квадрата одновременно равны 0, т.е. нужно решить систему

$\left\{\begin{matrix}x^2-x-6=0, & & \\ \log_9x-0.5=0 & & \end{matrix}\right.$

Решим второе уравнение:

$\log_9x=0.5;\\\\x=9^{0.5};\\\\x=\sqrt9\\\\x=3$

Т.к. число 3 является корнем первого уравнения, $x=3$ - решение системы и решение исходного уравнения. Других решений оно не имеет.

19. Упростим сумму ($x+x^2+x^3+...$). При $|x|<1$ она представляет из себя сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии  с первым членом $b_1=x$ и знаменателем $q=\frac{x^2}{x}=x$. По формуле $S=\frac{b_1}{1-q}$ запишем сумму:

$S=\frac{x}{1-x}$.

Перепишем исходное уравнение в виде

$\frac{5x-3}{x-1}+\frac{x}{1-x}=-1$.

$\frac{5x-3}{x-1}-\frac{x}{x-1}=-1;\\\\\frac{5x-3-x}{x-1}=-1;\\\\\frac{4x-3}{x-1}=-1;\\\\ 4x-3=-(x-1);\\\\4x-3=-x+1;\\\\5x=4;\\\\x=0.8$

Answer 2

18. Сумма квадратов двух выражений равна нулю когда оба выражения равны нулю. Кроме этого ㏒₉х определен, когда х>0,

х²-х-6=0 имеет корни по Виету х=3, х=-2, второй корень не входит в ОДЗ уравнения.  ㏒₉х-0.5=0, ㏒₉х=0.5; х=9⁰.⁵=3

Ответ 3

19.  х+х²+х³+...=х/(1-х) по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. s=b₁/(1-q) . где b₁=x: q=x²/x=x³/x²=x

(5х-3)/(х-1)+х/(1-х)=-1; х≠1; (5х-3-х)/(х-1)+1=0;  4х-3+х-1=0; 5х=4; х=4/5-ответ попадает в заданный промежуток (-1;1)

Ответ 4/5