Question

в однокруговом турнире по волейболу каждая команда одержала сколько побед сколько все побежденные ей команды вместе взятые.Сколько могло играть команд в турнире? Три трубы наполняют бассейн за 6часов Втооая труба на 25% быстрее чем первая а третья на 10 часов медленее. За какое время кажлпя труба наполняет бассйен?

Answer 1

1) Рассмотрим команду (пусть это будет команда М), которая выиграла наименьшее количество встреч. Пусть это число равно $l$. Рассмотрим два случая:

1. $l>0$. Заметим, что количество побед этой команды равно количеству побежденных, а это число, в свою очередь, равно суммарному количеству побед побежденных. Очевидно, что каждый побежденный выиграл ровно 1 раз (если нет, то найдется хотя бы один побежденный с 0 побед, что противоречит минимальности). Значит, $l=1$. Побежденный командой М тоже имеет 1 победу и так далее. Получим, что каждый победил ровно 1 раз. Поскольку каждый матч заканчивается чьей-то победой, то всего побед столько же, сколько и матчей. Суммарное количество побед равно $n$ — числу участников (поскольку все победили 1 раз). Имеем:  $\frac{n(n-1)}{2}=n \Rightarrow n=3$.

2. $l=0$. Уберем команду М. Тогда количество побед каждой команды уменьшится на 1 (так как все победили команду М). Рассмотрим новую команду, имеющую наименьшее количество побед ($l'$). Если $l'>0$, то получим 3 команды + изъятая, то есть всего 4 команды. Если $l'=0$, то была команда с ровно одной победой. Продолжая рассуждения, получим, что была команда с хотя бы двумя победами, тремя и т.д. до $n-1$, то есть была команда, которая победила всех. Тогда $\frac{(n-1)(n-2)}{2}\leq n-1 \Rightarrow n\leq 4$. Значит, могло быть либо три, либо четыре команды.

2) Пусть первая труба наполняет бассейн за $t$ часов. Составим уравнение: $\frac{1}{t}+\frac{1}{0,75t} +\frac{1}{t+10}=\frac{1}{6}$, откуда $t=5+\sqrt{165}$, остальные ищутся легко.