Question

Решить уравнение. Заранее благодарен.

Answer 1

Понятно, что $n=1$ не годится. Рассмотрим $n=2$. Пусть функция $f$ такова, что $\tan(f\tan x)=\tan(\tan x)-2012$ (несложно показать, что такая существует). Тогда $\tan(\tan x))-2012=\tan(f\tan x)=0$, откуда $f \tan x=\pi k$, наконец, $x=\arctan \frac{\pi k}{f}$. При этом $\lim\limits_{k\to\infty} \arctan \frac{\pi k}{f}=\frac{\pi}{2}$. Поскольку $\pi/2>\pi/3$, то на указанном отрезке поместится только конечное количество членов последовательности.

Проводя аналогичные рассуждения (в этот раз берем функцию $\tan(f\tan(\tan x)))$), получаем предел $\arctan \pi/2<\pi/3$ (для доказательства достаточно взять тангенс от обеих частей). Значит, на указанном отрезке лежит бесконечное количество членов последовательности. Итак, ответ $n=3$.