Question

Помогите решить пример

Answer 1

ОДЗ: x ≥0

Так как |sinx|≤1, то

$\left \{ {{sin(\pi\sqrt{x} )=1 } \atop {sin(\pi\sqrt{x+2} )=-1}} \right.$                   или          $\left \{ {{sin(\pi\sqrt{x} )=-1 } \atop {sin(\pi\sqrt{x+2} )=1}} \right.$

$\left \{ {{\pi\sqrt{x} =\frac{\pi }{2}+2 \pi k, k \in Z } \atop {\pi\sqrt{x+2}=-\frac{\pi }{2}+2 \pi n, n \in Z }} \right.$             или          $\left \{ {{\pi\sqrt{x} =-\frac{\pi }{2}+2 \pi k, k \in Z } \atop {\pi\sqrt{x+2}=\frac{\pi }{2}+2 \pi n, n \in Z }} \right.$

$\left \{ {{\sqrt{x} =\frac{1 }{2}+2k, k \in Z } \atop {\sqrt{x+2}=-\frac{1 }{2}+2n, n \in Z }} \right.$               или          $\left \{ {{\sqrt{x} =-\frac{1 }{2}+2k, k \in Z } \atop {\sqrt{x+2}=\frac{1 }{2}+2n, n \in Z }} \right.$

второе уравнение           .                первое уравнение

                   . системы имеет смысл

при n≥1                               .                 при k≥1  

$\left \{ {{x =(\frac{1 }{2}+2k)^2, k \in Z } \atop {x+2=(-\frac{1 }{2}+2n)^2, n \in Z }} \right.$              или            $\left \{ {{x =(-\frac{1 }{2}+2k)^2, k \in Z } \atop {x+2=(\frac{1 }{2}+2n)^2, n \in Z }} \right.$

$(\frac{1 }{2}+2k)^2=(-\frac{1 }{2}+2n)^2 - 2$   или         $(-\frac{1 }{2}+2k)^2=(\frac{1 }{2}+2n)^2 - 2$

$(-\frac{1 }{2}+2n)^2 - (\frac{1 }{2}+2k)^2=2$   или         $(\frac{1 }{2}+2n)^2 - (-\frac{1 }{2}+2k)^2=2$

$(-\frac{1 }{2}+2n -\frac{1 }{2}-2k)\cdot(-\frac{1 }{2}+2n+\frac{1 }{2}+2k) =2$

 или  

$(\frac{1 }{2}+2n+\frac{1 }{2}-2k)\cdot (\frac{1 }{2}+2n-\frac{1 }{2}+2k)=2$

$(-1 +2(n-k))\cdot2(n+k) =2$     или   $(1+2(n-k))\cdot2(n+k)=2$

при n≥1                               .                 при k≥1  

$(-1 +2(n-k))\cdot(n+k) =1$     или   $(1+2(n-k))\cdot(n+k)=1$

при n≥1                               .                 при k≥1  

$\left \{ {{n+k=1} \atop {2(n-k)-1=1}} \right.$ или $\left \{ {{n+k=-1} \atop {2(n-k)-1=-1}} \right.$ или $\left \{ {{n+k=1} \atop {2(n-k)+1=1}} \right.$  или  $\left \{ {{n+k=-1} \atop {2(n-k)+1=-1}} \right.$  

n=1; k=0       или   n=-1  не уд или   нет реш    или     n=1; k=-1  

О т в е т. x=$\frac{1}{4}$