Question

Числитель и знаменатель некоторой дроби – натуральные числа, причем знаменатель на 4 больше числителя. Если числитель увеличить на 6, а знаменатель на 4, то дробь возрастает менее чем вдвое. Если же числитель увеличить на 8, а знаменатель на 1, то дробь увеличивается более чем втрое. Найдите эту дробь. Подробное решение выполняется на отдельном листе бумаги, фотографируется (сканируется), файл прикрепляется для проверки.

Answer 1

$\frac{x}{x+4}$  - данная дробь, знаменатель на 4 больше числителя.

 Если числитель увеличить на 6, а знаменатель на 4, то получим

$\frac{x+6}{(x+4)+4}=\frac{x+6}{x+8}$,

то дробь   $\frac{x+6}{x+8}$   возрастает менее чем вдвое  по сравнению с дробью $\frac{x}{x+4}$

$1<\frac{x+6}{x+8}: \frac{x}{x+4} <2$

Если же числитель увеличить на 8, а знаменатель на 1,

$\frac{x+8}{(x+4)+1}=\frac{x+9}{x+5}$

то дробь  $\frac{x+9}{x+5}$  увеличивается более чем втрое  по сравнению дробью $\frac{x}{x+4}$

$\frac{x+9}{x+5}: \frac{x}{x+4} >3$

Решаем систему:  x≠-4

$\left \{ {{1 < \frac{(x+6)(x+4)}{(x+8)x}<2 } \atop {\frac{(x+9)(x+4)}{(x+5)x} >3}} \right.$            $\left \{ {{1 < \frac{x^2+6x+4x+24}{x^2+8x}<2 } \atop {\frac{x^2+9x+4x+36}{x^2+5x} >3}} \right.$      

$\left \{ {{ \frac{x^2+6x+4x+24-2x^2-16x}{x^2+8x}<0 }\atop{{ \frac{x^2+6x+4x+24-x^2-8x}{x^2+8x}>0} \atop {\frac{x^2+9x+4x+36-3x-15x}{x^2+5x} >0}}} \right.$        

$\left \{ {{ \frac{-x^2-6x+24}{x^2+8x}<0 }\atop{{ \frac{2x+24}{x^2+8x}>0} \atop {\frac{-2x^2-2x+36}{x^2+5x} >0}}} \right.$  

$x^2+6x-24=0$

D=132

$x=\frac{-6\pm2\sqrt{33}}{2}=-3\pm\sqrt{33}$

$2x^2+2x-36=0$

$x^2+x-18=0$

D=1+72

$x=\frac{-1\pm\sqrt{73}}{2}$

$-3+\sqrt{33} < \frac{-1+\sqrt{73}}{2}$

При x=3  получим дробь $\frac{3}{7}$

которая удовлетворяет указанным условиям

При x=3  получим дробь $\frac{3}{7}$

которая удовлетворяет указанным условиям

 Если числитель увеличить на 6, а знаменатель на 4, то получим

$\frac{3+6}{7+4}=\frac{9}{11}$,      $\frac{9}{11}: \frac{3}{7}=\frac{63}{33}$,  $1 <\frac{63}{33} < 2$

Если же числитель увеличить на 8, а знаменатель на 1,

$\frac{3+8}{7+1}=\frac{11}{8}$

то дробь    увеличивается более чем втрое  по сравнению дробью  

$\frac{11}{8}: \frac{3}{7}=\frac{77}{24} =3\frac{5}{24}$