Question

побудуйте графік функції y=х^3+2x^2-3x/x

Answer 1

$y = \dfrac{x^{3} + 2x^{2} - 3x}{x}$

Область визначення функції: $D(y) = (-\infty; \ 0) \cup (0; \ +\infty)$

Спростимо функцію:

$y = \dfrac{x^{3} + 2x^{2} - 3x}{x} = \dfrac{x^{3}}{x} + \dfrac{2x^{2}}{x} - \dfrac{3x}{x} = x^{2} + 2x - 3$

Маємо квадратичну функцію, графіком якої є парабола з гілками, напрямленими вгору.

Побудуємо графік цієї функції.

Перший спосіб (метод геометричних перетворень)

Перепишемо функцію у такому вигляді:

$y = x^{2} + 2x - 3 = x^{2} + 2x + 1 - 4 = (x + 1)^{2} - 4$

Отже, щоб побудувати таку параболу, треба побудувати параболу $y = x^{2}$ і зробити паралельне перенесення на $-1$ одиницю уздовж осі $Ox$ та на $-4$ одиниць уздовж осі $Oy$

Другий спосіб (за точками)

Абсциса точки вершини параболи:

$x_{0} = \dfrac{-b}{2a} = \dfrac{-2}{2 \cdot 1} = -1$

Ордината точки вершини параболи:

$y = (-1)^{2} + 2 \cdot (-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4$

Координата вершини параболи: $(x_{0}; \ y_{0}) = (-1; \ -4)$

Перетин з осями координат:

1) з віссю $Ox:$

$x^{2} + 2x - 3 = 0$

$x_{1} = -3; \ x_{2} = 1$

Маємо: $(-3; \ 0)$ та $(1; \ 0)$

2) з віссю $Oy: \ y = -3$

Маємо: $(0; \ -3)$

Оскільки для даної функції $x \neq 0$, то потрібно на графіку виколоти цю точку (див. рисунок).