Question

В угол, величиной 90 градусов вписана окружность радиуса 5. Окружность радиуса г > 5 касается сторон угла и первой окружности. Докажите единственность r и найдите его значение или найдите все возможные значения r, если число r не единственно​

Answer 1

Заметим, что множество точек, являющихся центрами окружностей, вписанных в угол, лежит на биссектрисе этого угла. Касание двух окружностей может быть внутренним, а может быть внешним. Случай внутреннего касания, очевидно, невозможен. Остается лишь случай внешнего (единственность).

Рассмотрим бесконечную серию окружностей вписанных в этот угол. Понятно, что радиусы окружностей убывают как геометрическая прогрессия (здесь наблюдается преобразование подобия — гомотетия). Пусть радиус меньшей окружности (с радиусом 5) равен $r_{0}$. Тогда отрезок, начало которого в вершине прямого угла, а конец в центре большой окружности, можно посчитать через сумму бесконечной геометрической прогрессии: $s=r+\frac{2r_{0}}{1-q}$, где $q$ — отношение радиусов соседних окружностей. С другой стороны, по теореме Пифагора: $s^2=r^2+r^2=2r^2 \Rightarrow s=r\sqrt{2}$. Имеем: $r+\frac{2r_{0}}{1-q}=r\sqrt{2} \Rightarrow \frac{2r_{0}}{r(\sqrt{2}-1)}=1-q$, причем $r_{0}=rq \Rightarrow q=\frac{r_{0}}{r}$, откуда $\frac{2r_{0}}{r(\sqrt{2}-1)}=\frac{r-r_{0}}{r} \Rightarrow r=r_{0}+ \frac{2r_{0}}{\sqrt{2}-1}=r_{0}(\sqrt{2}+1)^2=5(3+2\sqrt{2})$