Ответы
Проведем доказательство индукцией по .
База: .
Имеем два промежутка: и
. Докажем, что существует представление
в виде
. Для этого достаточно доказать, что функция
линейна на каждом из указанных промежутков и производная (угол наклона прямой) может принимать любые численные значения. Линейность функции очевидна. Рассмотрим
на промежутках:
:
(за счёт независимости
(это число появляется только как свободный член) данное уравнение действительно описывает любую прямую.
:
аналогично. При этом заметим, что если зафиксировать старший член и свободный в первом случае, то множество значений старшего и свободного члена во втором случае есть все множество действительных чисел.
Единственность представления доказывается просто. Пусть нашлись другие (возможно совпадающие, но не полностью) числа . Рассмотрим первый промежуток:
, откуда
. К этой системе добавятся условия из второго промежутка:
. Решая систему из первого уравнения первой системы и первого уравнения второй, получим
. Используя это равенство для второго уравнения первой системы, приходим к равенству
. Единственность доказана.
Переход: пусть для некоторого выполнено условие задачи. Докажем, что оно выполнено и для
.
Рассмотрим функцию . По предположению индукции
можно представить в этом виде, причем единственным образом. Рассмотрим следующую функцию
. Очевидно, что первые
чисел можно подобрать по предположению индукции, представив тем самым функцию
на промежутках
. Оставшуюся часть
представим, пользуясь базой индукции (при этом отсутствие минус бесконечности на ход решения не влияет). Докажем единственность. Пусть нашелся другой набор чисел
. Введем функцию
, которая описывается следующим графиком: она совпадает с
на первых
промежутках, а кусок прямой на
-ом продлевается в бесконечность (вправо). Тогда у
два представления, что противоречит предположению индукции. Следовательно,
, причем
может отличаться от
. Тогда проведем те же рассуждения, взяв последние
чисел.