Question

Если две корни(нули) неравенства встречается два раза то между этими корнями значение меняется с минуса на плюс?

Answer 1

$\dfrac{x}{x-1}-\dfrac{2}{x+1}-\dfrac{8}{x^2-1}\leq 0\ \ ,\ \ \ ODZ:\ x\ne \pm 1\ ,\\\\\\\dfrac{x^2+x-2x+2-8}{(x-1)(x+1)}\leq 0\ \ \ ,\ \ \ \dfrac{x^2-x-6}{(x-1)(x+1)}\leq 0\ \ ,\ \ \dfrac{(x+2)(x-3)}{(x-1)(x+1)}\leq 0\ ,$

Множители обращаются в 0 при х= -2, х=3 , х=1 , х= -1 .

Вычислим знак дроби в каждом из пяти промежутках. Для этого подставляем какое-либо число из промежутка вместо "х" в последнюю дробь.

  $+++[-2\, ]---(-1)+++(1)---[\, 3\, ]+++$  

$x=-100:\ \ \dfrac{(-100+2)(-100-3)}{(-100-1)(-100+1)}=\dfrac{(-)\cdot (-)}{(-)\cdot (-)}>0\\\\x=-1,5:\ \ \dfrac{(-1,5+2)(-1,5-3)}{(-1,5-1)(-1,5+1)}=\dfrac{(+)\cdot (-)}{(-)\cdot (-)}<0\\\\x=0:\ \ \dfrac{(0+2)(0-3)}{(0-1)(0+1)}=\dfrac{(+)\cdot (-)}{(-)\cdot (+)}>0\\\\x=2:\ \ \dfrac{(2+2)(2-3)}{(2-1)(2+1)}=\dfrac{(+)\cdot (-)}{(+)\cdot (+)}<0\\\\x=100:\ \ \dfrac{(100+2)(100-3)}{(100-1)(100+1)}=\dfrac{(+)\cdot (+)}{(+)\cdot (+)}>0$

Теперь выбираем промежутки, где стоит знак (-), т.к. у заданного неравенства знак  "  $\leq$ "  .

Ответ:   $x\in [\, -2\ ;\ -1\ )\cup (\ 1\, ;\ 3\ ]\ .$  

P.S.  Считать знаки можно устно .