Question

Помогите пожалуйста. С решением

Answer 1

Функция не убывает на всей числовой прямой, если $y'> 0$.

$y'=\left(\dfrac{a-3}{3}x^3-ax^2+x(3a-6)\right)'=(a-3)x^2-2ax+3a-6>0$

Если $a-3>0$ откуда $a>3$, то неравенство верно для всех $x$, если его дискриминант отрицательный

$D=(-2a)^2-4(a-3)(3a-6)=4\Big(a^2-3a^2+15a-18\Big)=\\ =4\Big(-2a^2+15a-18\Big)=-4\Big(2a^2-15a+18\Big)<0\\ \\ 2a^2-15a+18>0\\ \\ 2(a-1{,}5)(a-6)>0$

Решение неравенства $a \in (-\infty;1{,}5)\cup (6;+\infty)$, но если проверить концы $a=1{,}5$ и $a=6$, то они являются решением неравенства. С учетом условия $a>3$, получаем $a \in [6;+\infty).$ Для случая $a<3$ неравенство имеет решение, но не для всех значений $x$, либо не имеет. При $a=3$ неравенство тоже имеет решение. Наименьшее целое значение параметра $a$ равно $6$.

Answer 2

Функция растет или постоянна, значит, производная не меньше нуля.

Найдем производную.

у'=3*(а-3)х²/3-2ах+3а-6=(а-3)х²-2ах+3а-6≥0, при а=3 это линейная функция. у'=-6х+9-6; у'=-6х+3, неотрицательна при х∈(-∞;1/2]

при а≠3 это квадратичная функция. она равна нулю или больше нуля  т.е. не убывает на всей числовой прямой, если старший коэффициент ее больше нуля, т.е. а-3>0; a>3.

дискриминант равен или меньше нуля. т.е.

D=4а²-4(3а-6)*(а-3)≤0;  

4а²-4(3а²-9а-6а+18)≤0; -2а²+15а-18≤0, найдем корни левой части, -2а²+15а-18≤0; т.е. корни квадратного трехчлена 2а²-15а+18=0

а=(15±√(225-144))/4=(15±9)/4; а=6; а=1.5;

неравенство -2а²+15а-18≤0, -2*(а-1.5)*(а-6)≤0

решим методом интервалов.

_______1.5_______6____________

  -                  +                -

Решением неравенства будет

а∈(-∞;1.5]∪ [6;+∞)  с учетом того, что а∈(3;+∞) решением неравенства будет интервал [6;+∞)

наименьшее целое значение а равно 6

Ответ [6;+∞); а=6 наименьшее целое значение, при котором функция не убывает на всей числовой оси.