Question

Гипербола $y=\frac{12}{x}$ пересекает окружность $x^{2} +y^{2} = 5^{2}$ в точке А и В которые лежат в первой четверти. Найти скалярное произведение ОА*ОВ

Answer 1

Найдем координаты точек пересечения.

Составим и решим систему:

$\begin{cases} y=\dfrac{12}{x} \\ x^2+y^2=5^2 \end{cases}$

Подставим соотношение для у во второе уравнение:

$x^2+\left(\dfrac{12}{x} \right)^2=25$

$x^2+\dfrac{144}{x^2} -25=0$

Домножим на $x^2\neq 0$:

$x^4-25x^2+144=0$

Решим биквадратное уравнение:

$D=(-25)^2-4\cdot1\cdot144=49$

$x^2=\dfrac{25+\sqrt{49} }{2} =16\Rightarrow x=\pm 4$

$x^2=\dfrac{25-\sqrt{49} }{2} =9\Rightarrow x=\pm 3$

Так как точки А и В лежат в первой четверти, то их координаты положительные. Выберем положительные значения х и для них вычислим соответствующие значения у:

$x=4\Rightarrow y=\dfrac{12}{4} =3$

$x=3\Rightarrow y=\dfrac{12}{3} =4$

Получившиеся значения у положительны, значит точки лежат в первой четверти. Таким образом, координаты точек найдены.

Пусть $A(3;\ 4)$, $B(4;\ 3)$.

Тогда, координаты векторов:

$\vec{OA}=\{3;\ 4\}$

$\vec{OB}=\{4;\ 3\}$

Скалярное произведение векторов равно сумме попарных произведений соответствующих координат:

$\left(\vec{OA}\cdot\vec{OB}\right)=3\cdot4+4\cdot3=12+12=24$

Ответ: 24

Answer 2

Объяснение:см. во вложении