Question

Куб суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами относится к сумме кубов её членов, как 13:4. Найти знаменатель прогрессии.

Answer 1

Ответ:

$q = \frac{1}{3}$

Объяснение:

Имеем по условию $S = \frac{b_1}{1-q} \ (q > 1)$,

$S_1 = \frac{b^3_1}{(1-q)^3}$  - куб суммы членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии,

$S_2 = \frac{b^3_1}{(1-q^3)}$  - сумма кубов членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Получаем:

$\frac{\frac{b^3_1}{(1-q)^3}}{\frac{b^3_1}{(1-q^3)}} = \frac{13}{4} \rightarrow \frac{1-q^3}{(1-q)^3} = \frac{13}{4} \rightarrow \frac{(1-q)(1 + q + q^2)}{(1-q)^3} = \frac{13}{4} \rightarrow \frac{1 + q + q^2}{1-2q + q^2} = \frac{13}{4} \rightarrow \\ \frac{4 + 4q + 4q^2}{13-26q + 13q^2} = 1 \rightarrow 4 + 4q + 4q^2 = 13-26q + 13q^2 \rightarrow 9q^2 -30q + 9 = 0 \rightarrow q = \frac{1}{3}$