Question

Помогите пожалуйста решить уравнение

Answer 1

Ответ:

-0.2

Объяснение:

$(2x+1)(2+\sqrt{(2x+1)^2+3})=-3x(2+\sqrt{9x^2+3})$

Заметим, что левая и правая часть уравнения имеет общую структуру в виде функции:

$f(t)=t(2+\sqrt{t^2+3})$

Действительно, ведь

$f(2x+1)=(2x+1)(2+\sqrt{(2x+1)^2+3}) \\ \\ f(-3x)=-3x(2+\sqrt{(-3x)^2+3})=-3x(2+\sqrt{9x^2+3})$

Исследует функцию f(t) на монотонность с помощью производной:

$f'(t)=[t(2+\sqrt{t^2+3})]'=t'(2+\sqrt{t^2+3})+t*(2+\sqrt{t^2+3})'= \\ \\ 2+\sqrt{t^2+3}+t*\frac{1}{2\sqrt{t^2+3}} *2t=2+\sqrt{t^2+3}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+3}}$

Так как $\sqrt{t^2+3} >0$, при любых t; t²≥0 при любых t, тогда

$2+\sqrt{t^2+3}+\frac{t^2}{\sqrt{t^2+3}}>0$, при любых действительных t

Если f'(t)>0, то функция f(t) - возрастающая на всей числовой оси.

А для монотонных функций справедливо:

$f(a)=f(b) \ \Leftrightarrow \ a=b$

В нашем случае:

$f(2x+1)=f(-3x) \ \Leftrightarrow \ 2x+1=-3x \ \Leftrightarrow \ 5x=-1 \ \Leftrightarrow \ x=-\frac{1}{5} =-0.2$