Question

50БАЛЛОВ!!!!!! Положительные числа x и y таковы, что xy=50. Найдите наименьшее возможное значение выражения (x/2)+y. В этой задаче пришел к тому, что x*x+y*y( *-знак умножения) больше или равен 100. Это как подсказка. Ответ дать с полным объяснением, а не просто сказать ответ!

Answer 1

$\displaystyle\\xy = 50\\x/2+y = \frac{x}{2} + \frac{50}{x} = \frac{1}{2}\left(x+\frac{100}{x}\right)$

Найдем минимум выражения в скобках. Заметим что положительный x можно представить в виде $x = t^2$

$\displaystyle\\t^2+\frac{100}{t^2} = t^2 - 20 + \left(\frac{10}{t}\right)^2+20 = \left(t-\frac{10}{t}\right)^2+20$

Отметим, что получившееся выражение не может быть меньше 20, а значение 20 достигается при $t^2 = 10$ то есть при $x = 10, y =5$

И минимальное значение исходного выражения составляет 10/2 + 5 = 10