Question

Найдите действительные решения системы уравнений

Answer 1

Ответ: (2;4);(-2;-4)

Объяснение:

$\left \{ {{\frac{x^3}{2y}+3xy=25 } \atop {\frac{y^3}{x} -2xy=16}} \right. \\\left \{ {{\frac{8x^3}{y}+48xy=25*16 } \atop {\frac{25y^3}{x} -50xy=16*25}} \right.$

ОДЗ: $x\neq 0 ; y\neq0$

Вычитаем второе уравнение из первого:

$\frac{8x^3}{y} +98xy -\frac{25y^3}{x} = 0$

Учитывая, что $x\neq 0 ; y\neq0$ , можно поделить обе части уравнения на $xy$:

$\frac{x^2}{y^2} +98 -25\frac{y^2}{x^2 } = 0\\\frac{x^2}{y^2} >0\\ 8t+98-\frac{25}{t} = 0\\8t^2+98t-25 = 0\\D/4 = 49^2+8*25 = (50-1)^2 +50*4 = 50^2 +2*50+1 = (50+1)^2 = 51^2\\t_{1} = \frac{-49+51}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4} > 0\\t_{2} = \frac{-49-51}{8} <0\\y^2 = 4x^2\\y=+-2x\\1. \left \{ {{y=2x} \atop {\frac{y^3}{x}-2xy=16 }} \right.\\ 8x^2-4x^2=16\\4x^2 =16\\x^2=4\\x_{1,2} =+-2\\y_{1,2} =2x_{1,2}=+-4\\2. \left \{ {{y=-2x} \atop {\frac{y^3}{x}-2xy=16 }} \right.\\-8x^2+4x^2 = 16$

Тут решений нет.