Question

Помогите пожалуйста!

Answer 1

ОДЗ:

$\left \{ {{3x+7 >0} \atop {3+x>0}} \right.$        $\left \{ {{x >-\frac{7}{3} } \atop {x>-3}} \right.$

$x\in (-\frac{7}{3};+\infty)$

Логарифмируем данное неравенство по основанию 10

( логарифмическая функция с основанием 10 > 1 возрастает, поэтому знак неравенства сохраняется):

$lg(\sqrt{3x+7}+2)^{1-x}\geq lg(3+x)^{1-x}$

Применяем свойство логарифма степени:

$(1-x)\cdot lg(\sqrt{3x+7}+2)\geq (1-x) lg(3+x)$

$(1-x)\cdot lg(\sqrt{3x+7}+2)- (1-x) lg(3+x)\geq0$

$(1-x)\cdot( lg(\sqrt{3x+7}+2)- lg(3+x))\geq0$

$(1-x)\cdot lg\frac{\sqrt{3x+7}+2}{3+x}\geq0$

$(x-1)\cdot lg\frac{\sqrt{3x+7}+2}{3+x}\leq0$

Решаем методом интервалов:

$x-1=0$     ⇒     $x=1$

$lg\frac{\sqrt{3x+7}+2}{3+x}=0$    ⇒     $\frac{\sqrt{3x+7}+2}{3+x}=1$  ⇒     $\sqrt{3x+7}=x+1$

Возводим в квадрат:   $3x+7=x^2+2x+1;$     $x^2-x-6=0$

(-$\frac{7}{3}$ )  __-___ [-2] ___+___ [1] ___-_____ [3] ___+___

О т в е т. ( $\frac{7}{3}$ ; -2] U[1;3]