Question

Скажите пожалуйста, когда в уравнениях не нужно ОДЗ. Например при решении уравнения:$\sqrt{1-2x}-\sqrt{13+x}=\sqrt{x+4}$ ОДЗ вроде бы не нужно(просто возвести в квадрат) так ли это? Или же оно нужно всегда, где есть корни(дроби)

Answer 1

Если вы делаете равносильные переходы, не затрагивающие ОДЗ, если здесь не выявить ОДЗ, то действие возведения в четную степень может привести к постороннему корню, вам придется делать проверку, и отсеивать лишние корни.

В Вашем примере ОДЗ

1-2х≥0

13+х≥0

х+4≥0

х≤0.5

х≥-13

х≥-4

ОДЗ есть пересечение этих решений. т.е. х∈[-4;0.5]

Теперь, всегда ли нужно возводить в квадрат? Нет. К примеру, в Вашем задании. используя ОДЗ и дополнительные условия, можно сразу выйти на ответ.

ОДЗ: [-4;0.5]; дополнительные условия - неотрицательность правой и левой частей. т.е. так как правая часть на ОДЗ неотрицательна, то должна быть неотрицательной и левая часть, т.е. √(1-2х)-√(13+х)≥0, это возможно при условии √(1-2х)≥√(13+х), которое выполняется, если 1-2х≥13+х, т.е. -3х≥12; х≤-4; получили, с одной стороны, по ОДЗ х≥-4, с другой, по дополнит. условию х≤-4; получается, что одновременное выполнение этих условий возможно только при х=-4. Это и есть корень уравнения, который получен без возведения в квадрат.

Теперь,  

смотрите. возьмем другой  пример √х+√(х-1)=4

При равенстве двух выражений возводить в квадрат мы имеем право только при условии НЕОТРИЦАТЕЛЬНЫХ чисел справа и слева от знака равенства.

ОДЗ здесь х ≥ 1

Если возведем обе части в квадрат, получим

2х-1+2√(х*(х-1))=16

т.к. подкоренные выражения у вас неотрицательные, вы их можете под один корень подвести. Верно?) Но смотрите, что тогда получите.

____0________1________

 +             -                +

Какая ОДЗ теперь? х∈(-∞;0]∪[1;+∞) Увидели расширение ОДЗ? К ней добавился еще левый кусок (-∞;0].

Поэтому аккуратно надо работать с переходами.

Что касается дробей и корней. Конечно, Вы обращаете внимание, если корень четной степени, то подкоренное выражение неотрицательно, а если корень четной степени в знаменателе, то  подкоренное выражение строго больше нуля. Если есть дроби, то знаменатель не равен нулю.. ну.. там свои казусы.