Question

sinx+3cosx=2 найти х

Помогите пожалуйста!

Answer 1

$sinx+3\, cosx=2\ \Big|:\sqrt{10}\\\\\dfrac{1}{\sqrt{10}}\, sinx+\dfrac{3}{\sqrt{10}}\, cosx=\dfrac{2}{\sqrt{10}}\\\\\\cos\varphi \cdot sinx+sin\varphi \cdot cosx=\dfrac{2}{\sqrt{10}}\\\\\\\star \ cos\varphi =\dfrac{1}{\sqrt{10}}\ ,\ \ \ sin\varphi =\dfrac{3}{\sqrt{10}}\ \ ,\ \ \ tg\varphi=\dfrac{sin\varphi }{cos\varphi }=3\ \ \to \ \ \varphi =arctg3\ \ \star \\\\\\sin(x+\varphi )=\dfrac{2}{\sqrt{10}}\\\\\\x+\varphi =(-1)^{n}\cdot arcsin\dfrac{2}{\sqrt{10}}+\pi n\ ,\ n\in Z$

$x=(-1)^{n}\cdot arcsin\dfrac{2}{\sqrt{10}}-arctg3+\pi n\ ,\ n\in Z$

Answer 2

1 способ введение вспомогательного аргумента.

√(1²+3²)=√10

(1/√10)*sinx+(3/√10)cosx=2/√10

т.к. (1/√10)²+(3/√10)²=1, то пусть  (1/√10)=cosα; (3/√10)=sinα, ⇒α=arcsin(3/√10)

sinx*cosα+cosx*sinα=2/√10

sin(x+α)=2/√10

x+α=(-1)ⁿarcsin√2/10)+πn;  n∈Z

x=(-1)ⁿarcsin(√2/10)-arcsin(3/√10)+πn;  n∈Z

2cпособ.

2sin(x/2)*cos(x/2)+3cos²(x/2)-3sin²(x/2)-2cos²(x/2)-2sin²(x/2)=0

2sin(x/2)*cos(x/2)+cos²(x/2)-5sin²(x/2)=0

разделим обе части на cos²(x/2)≠0, иначе и синус бы равнялся нулю. но сумма их квадратов равна 1 и быть одновременно равными нулю они не  могут.

2tg(x/2)+1-5tg²(x/2)=0

5tg²(x/2)-1-2tg(x/2)=0

tg(x/2)=(1±√(1+5))/5

tg(x/2)=(1/5+√6/5)⇒x/2=arctg(1/5+√6/5)+πn  n∈Z

x=2arctg(1/5+√6/5)+2πn  n∈Z

tg(x/2)=(1/5-√6/5)⇒x/2=arctg(1/5-√6/5)+πn  n∈Z

x=2arctg(1/5-√6/5)+2πn  n∈Z