Question

$\int\limits {cos(x)*(sin(x)+1)^4} \, dx$
Пожалуйста, помогите решить интеграл! Не понимаю, для произведения под интегралом есть какая-то своя формула?

Answer 1

Решение:

Внесем $cos(x)$ под дифференциал. Тогда:

$\int {cos(x)\cdot (sin(x)+1)^4} \, dx = \int {(sin(x)+1)^4} \, d( sin(x) )=||t=sin(x)||=\\\\=\int {(t+1)^4}\, dt = \int {(t+1)^4}\, d(t+1)=||u=t+1||=\int {u^4}\, du=\frac{1}{5} \cdot u^5+C$

Возвращаем замены:

$\frac{1}{5} \cdot u^5 +C = \frac{1}{5} \cdot(t+1)^5 +C = \frac{1}{5} \cdot(sin(x)+1)^5+C$

Ответ:

$I= \frac{1}{5} \cdot(sin(x)+1)^5+C$