Question

2. Запиши разложение бинома Ньютона (2а + 3)^4, используя треугольник Паскаля.

Answer 1

Вспомним формулу бинома Ньютона:

$\boxed { (a+b)^n = C^0_na^nb^0+C^1_{n}a^{n-1}b^1+C^2_na^{n-2}b^2 + C^3_na^{n-3}b^3 + \ldots + C^n_na^0b^n }$

Числа $C^k_n=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}$ - это биномиальные коэффициенты.

Их можно посчитать с помощью представленной выше формулы, а можно взять значения из треугольника Паскаля. Чтобы его построить, нужно записать нулевой и первый столбец: "1" и "1 1" (загляните в приложение), а дальше, для получения новых чисел, нужно следовать двум правилам: 1) крайние числа каждой строки - единицы; 2) каждое (не крайнее) число равно сумме расположенных над ним чисел.

И где же в полученном треугольнике $C_n^k$? Ищем $n$-ую строчку (нумерация именно такая, как в приложении!). А дальше - $k$-ое число в ней. Победа!

Теперь мы уже точно можем записать разложение бинома Ньютона для $(2a+3)^4$. Коэффициенты, взятые из треугольника Паскаля, подчеркнуты.

$(2a + 3)^4 = \underline{1} \cdot (2a)^4 \cdot 3^0 + \underline 4 \cdot (2a)^3 \cdot 3^1 + \underline 6 \cdot (2a)^2 \cdot 3^2 + \underline 4 \cdot (2a)^1 \cdot 3^3 + \underline 1 \cdot (2a)^0 \cdot 3^4 = \\\\= 16a^4 + 96a^3 + 216a^2 + 216a+81$

Ответ: $\boxed{16a^4 + 96a^3 + 216a^2 + 216a+81}$

Answer 2

Ответ:

(2·a + 3)⁴ = 16·a⁴+4·8·a³·3+6·4·a²·9+4·2·a·27+81=16·a⁴+96·a³+216·a²+216·a+81

Объяснение:

Известно, что коэффициенты разложения (a + b)ⁿ можно определить из треугольника Паскаля:

n=0                                                            1

n=1                                                       1             1

n=2                                                1            2             1

n=3                                          1           3             3             1

n=4                                    1           4            6            4             1

n=5                            1            5           10           10            5            1

...

Тогда (2·a + 3)⁴ = 1·(2·a)⁴·3⁰+4·(2·a)³·3¹+6·(2·a)²·3²+4·(2·a)¹·3³+1·(2·a)⁰·3⁴=

=16·a⁴+4·8·a³·3+6·4·a²·9+4·2·a·27+81=16·a⁴+96·a³+216·a²+216·a+81.