• Предмет: Математика
  • Автор: GogaGogaGagaga
  • Вопрос задан 3 года назад

(2x+1)dy=(y-1)dx найти частные решения дифференциальное уравнений​ если y(3)=-13

Ответы

Ответ дал: Аноним
3

Ответ:

y(x)=-2\sqrt{14x+7}+1

Пошаговое объяснение:

1 Запишем

(2x+1)dy=(y-1)dx

2 Определим тип уравнения

Уравнение с разделяющимися переменными

3 Разделим переменные

\dfrac{dx}{(2x+1)}=\dfrac{dy}{y-1}

4 Проинтегрируем обе части

\displaystyle \int\dfrac{dx}{(2x+1)}=\int\dfrac{dy}{y-1}

5 Запишем первый и второй интегралы по-другому

\displaystyle\dfrac12 \int\dfrac{d(2x+1)}{(2x+1)}=\int\dfrac{d(y-1)}{y-1}

6 Проинтегрируем, учитывая что \displaystyle \int \dfrac{du}{u}=\ln|u|+const

\dfrac12\ln|2x+1|+C=\ln|y-1|

7 Запишем константу как логарифм константы

\dfrac12\ln|2x+1|+\ln c=\ln|y-1|

8 Внесем множитель \dfrac12 как степень в логарифм

\ln\sqrt{|2x+1|}+\ln c=\ln|y-1|

9 Запишем сумму логарифмов как логарифм произведения

\ln c\sqrt{|2x+1|}=\ln|y-1|

10 Уберем логарифмы

c\sqrt{|2x+1|}=|y-1|

11 Уберем модули так как константа может принимать и отрицательные значения

y(x)=c\sqrt{2x+1}+1

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ

y(x)=c\sqrt{2x+1}+1

Найдем частное решение, составив равенство

1 Запишем

y(3)=-13

2 Заменим функцию

c\sqrt{2\cdot3+1}+1=-13

3 Решим уравнение

c\sqrt{7}=-14\\c=-\dfrac{14}{\sqrt7}\\c=-\dfrac{14\sqrt7}{7}\\c=-2\sqrt7

4 Подставим значение с в нашу функцию

y(x)=-2\sqrt7\sqrt{2x+1}+1

ЧАСТНОЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ

y(x)=-2\sqrt{14x+7}+1

Вас заинтересует