Question

dx/4y+dy/x=0 найти частные решения дифференциальное уравнений​ если x(1)= 0

Answer 1

Ответ:

$y(x)=\pm\dfrac12\sqrt{1-x}$

Пошаговое объяснение:

1 Запишем

$\dfrac{dx}{4y}+\dfrac{dy}x=0$

2 Определим тип уравнения

Уравнение с разделяющимися переменными

3 Разделим их

$\dfrac{dx}{4y}+\dfrac{dy}x=0$

$\dfrac{dx}{4y}=-\dfrac{dy}x$

4 Умножим все на 4ху

$xdx=-4ydy$

5 Проинтегрируем все

$\displaystyle \int xdx=\int -4ydy$

6 Вынесем константу -4 за знак интеграла

$\displaystyle \int xdx=-4\int ydy$

7 Проинтегрируем используя то, что $\displaystyle \int udu=\dfrac12u^2+const$

$\dfrac12x^2-\dfrac14c=-4\cdot\dfrac12y^2$

8 Упростим

$\dfrac12x^2-\dfrac12c=-2y^2$

9 Выразим y

$y^2=-\dfrac14x^2+\dfrac14c$

$y=\pm\dfrac12\sqrt{c-x}$

ОБЩЕЕ РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЯ

$y(x)=\pm\dfrac12\sqrt{c-x}$

Найдем частные решения, составив уравнение

1 Запишем

$y(1)=0$

2 Заменим функцию

$\pm\dfrac12\sqrt{c-1}=0$

3 Выразим c

$\sqrt{c-1}=0\\c-1=0\\c=1$

4 Подставим с в исходную функцию

$y=\pm\dfrac12\sqrt{1-x}$

ЧАСТНЫЕ РЕШЕНИЯ (их получилось 2)

$y(x)=\pm\dfrac12\sqrt{1-x}$