Question

Вычисли площадь фигуры, ограниченной линиями: y=x2−3x−12,y=3x+8−x2.

Answer 1

Ответ:

$115\dfrac{2}{3}$  кв. ед.

Пошаговое объяснение:

Выполним рисунок. Графиком функции

$y=x^{2} -3x-12=x^{2} -2\cdot x\cdot \dfrac{3}{2} +\dfrac{9}{4} -\dfrac{9}{4} -12=(x-1,5) ^{2} -14,25$

является парабола, ветви которой направлены вверх в вершиной в точке  (1,5; -14,25).

Графиком функции

$y=3x+8-x^{2} =-x^{2} +3x+8 =-( x^{2} -2\cdot x\cdot \dfrac{3}{2} +\dfrac{9}{4} -\dfrac{9}{4} )+8=\\=-(x-1,5)^{2} +\dfrac{9}{4} +8=-(x-1,5)^{2} +10,25$

является парабола, ветви которой направлены вниз в вершиной в точке  (1,5; 10,25).

Найдем пределы интегрирования, решив уравнение

$x^{2} -3x-12=3x+8-x^{2} ;\\2x^{2} -6x-20=0|:2;\\x^{2} -3x-10=0;\\D= (-3) ^{2} -4\cdot1\cdot(-10)=9+40=49=7^{2} ;\\x{_1}=\dfrac{3-7}{2} =\dfrac{-4}{2} =-2;\\\\x{_5}=\dfrac{3+7}{2} =\dfrac{10}{2} =5.$

Тогда найдем площадь заштрихованной фигуры

$S= \int\limits^5_{-2} {(-x^{2} +3x+8-x^{2} +3x+12)} \, dx = \int\limits^5_{-2} {(-2x^{2} +6x+20)} \, dx =\\\\\left(-\dfrac{2x^{3} }{3} +3x^{2} +20x\right)\big | {{5} \atop {-2}} \right. =\left(-\dfrac{2\cdot 5^{3} }{3} +3\cdot 5^{2} +20\cdot5\right)-\\\\- \left(-\dfrac{2\cdot (-2)^{3} }{3} +3\cdot (-2)^{2} +20\cdot(-2)\right)= -\dfrac{250}{3} +75+100- \dfrac{16}{3} -12+40=$

$-\dfrac{266}{3} +175+28= -88\dfrac{2}{3} +203=115\dfrac{2}{3}$

Тогда площадь фигуры равна $115\dfrac{2}{3}$  кв. ед.