Question

Можете, пожалуйста, подробнее рассказать как это решается?

Answer 1

Задания типа 1, 2 решаются с помощью знаний систем счисления и степеней:

а) Приводим все степени к одному основанию (равному основанию системы счисления, в которой потом нужно записать результат). Последнее слагаемое тоже нужно разложить на сумму/разность нескольких степеней (например,  $9=8+1=2^3+2^0$  или  $126=128-2=2^7-2^1$ ).

б) Представляем, как выглядит каждое из этих чисел в данной системе счисления (как единица с количеством нулей после неё, равным показателю степени, например  $2^3=1000_2$ ).

в) Делаем сложение, а затем- вычитание чисел (оба раза- от большего (по модулю) числа к меньшему). Не нужно полностью писать числа, нужно посчитать, сколько появится нулей/единиц между таким то и таким то разрядом, если сложить/вычесть одно из другого (тут нужно понимать, как происходит сложение/вычитание в той или иной системе счисления).

Пример №1:

$4^{2014}+2^{2015}-9=(2^2)^{2014}+2^{2015}-(2^3+2^0)=2^{4028}+2^{2015}-2^3-2^0$

В двоичной системе эти слагаемые выглядят как:

единица и 4028 нулей (то есть,  $1000000...000_2$ ),

единица и 2015 нулей (то есть,  $1000...000_2$ ),

единица и 3 нуля (то есть  $1000_2$ ),

единица без нулей (то есть,  $1_2$ ).

Складываем первые два слагаемых (представляем в уме). Получится следующее двоичное число:

1 (2012 нулей) 1 (2015 нулей) ₂

Итого, тут пока только две единицы.

Затем, вычитаем отсюда число 1000₂  Получим вот что:

1 (2012 нулей) 0 (2011 единиц) 1000₂

Итого, тут уже 2013 единиц.

Далее, вычитаем отсюда 1₂  Получаем вот что:

1 (2012 нулей) 0 (2011 единиц) 0111₂

Итого, тут получилось ровно 2015 единиц.

Пример №2:

$8^{4024}-4^{1605}+2^{1024}-126=(2^3)^{4024}-(2^2)^{1605}+2^{1024}-(2^7-2^1)=\\\\=2^{12072}-2^{3210}+2^{1024}-2^7+2^1$

В двоичной системе эти слагаемые выглядят как:

1) единица и 12072 нуля,

2) единица и 3210 нулей,

3) единица и 1024 нуля,

4) единица и 7 нулей (то есть  $10000000_2$ ),

5) единица и 1 нуль (то есть,  $10_2$ ).

Складываем большие положительные слагаемые (№ 1 и 3). Получим:

1 (11047 нулей) 1 (1024 нуля) ₂

Итого, тут пока только две единицы.

Затем, вычитаем отсюда слагаемое № 2  Получим:

(8862 единиц) (2185 нулей) 1 (1024 нуля) ₂

Итого, тут уже 8863 единицы.

Далее, вычитаем 10000000₂  Получаем вот что:

(8862 единиц) (2185 нулей) 0 (1016 единиц) 10000000₂

Итого, тут сейчас 9879 единиц.

Далее, вычитаем отсюда 10₂  Получаем вот что:

(8862 единиц) (2185 нулей) 0 (1016 единиц) 01111110₂

Итого, тут получилось ровно 9884 единицы.

Задание № 3:

$2^{1024}+2^{1026}$

Если сложить это в двоичном виде, то число разрядов останется такое же, как было в большем слагаемом (оно в двоичном виде выглядело как единица и 1026 нулей, т.е. всего 1027 разрядов).

Каждые три двоичных разряда дают один восьмеричный. Разбивают число начиная от десятичной запятой. То есть, можно поделить 1026 / 3 = 342 восьмеричных разряда, и ещё один разряд (идущий в начале числа)- там уже не обязательно иметь три разряда, всё равно он даст на выходе один восьмеричный разряд. Итого 342 + 1 = 343 восьмеричных разряда.

Другими словами, можно взять общее число двоичных разрядов (1027), поделить на три и если число получилось дробное- то округлить вверх (т.е. не обычное округление, а всегда вверх, с избытком).