Question

Найти пределы ( не пользуясь правилом Лопиталя)
На фото(20 вариант 4,5 пункт решить надо) очень срочно

Answer 1

Ответ:

При решении 1 примера пользуемся правилом замены бесконечно малых величин на эквивалентные  бесконечно малые . А при решении 2 примера пользуемся вторым замечательным пределом .

$4)\ \ \lim\limits_{x \to 0}\dfrac{e^{-x}-1}{ln(1-3x)}=\lim\limits_{x \to 0}\dfrac{-x}{-3x}=\dfrac{1}{3}\\\\\\\star \ \ e^{\alpha (x)}\sim \alpha (x)\ \ ,\ \ ln(1+\alpha (x))\sim \alpha (x)\ \ ,\ \ esli\ \ \alpha (x)\to 0\ \ \star$

$5)\ \ \lim\limits_{x \to 3}\Big(3x-8\Big)^{\frac{2}{x-3}}=\lim\limits_{x \to 3}\Big(\underbrace {\Big(1+(3x-9)\Big)^{\frac{1}{3x-9}}}_{\to \, e}\Big)^{\frac{2(3x-9)}{x-3}}=\\\\\\=e^{\lim\limits_{x \to 3}\frac{6(x-3)}{x-3}}=e^{\lim\limits_{x \to 3}6}=e^{6}\\\\\\\star \ \ \lim\limits_{x \to \infty }\Big(1+\dfrac{1}{x}\Big)^{x}=\Big[\ 1^{ \infty }\ \Big]=e\ \ \star$