Question

ДАЮ 35 баллов. Показательные неравенства.

пожалуйста решите задачу, и с объяснениями каждого шага(если не сложно)

Answer 1

Ответ:

рассмотрим два случая:

1) когда основания < 1 (знак меняется)

2) > 1, знак остаётся прежним

1.

${x}^{2} + x + 1 < 1 \\ \frac{x + 5}{x + 2} \leqslant 3 \\ \\ {x}^{2} + x + 1 < 1 \\ {x}^{2} + x < 0 \\ x(x + 1) < 0 \\ x \in( - 1;0) \\ \\ \frac{x + 5}{x + 2} \leqslant 3 \\ \frac{x + 5 - 3(x + 2)}{x + 2} \leqslant 0 \\ \frac{ x + 5 - 3x - 6}{x + 2} \leqslant 0 \\ \frac{ - 2x - 1}{x + 2} \leqslant 0 \\ - \frac{2x + 1}{x + 2} \leqslant 0 \\ x \in ( - \infty; - 2 )U[- \frac{1}{2}; + \infty )$

пересекаем оба решения:

$x∈[- \frac{1}{2}; 0)U(0 ;+ \infty )$

2.

${x}^{2} + x + 1 > 0 \\ \frac{x + 5}{x + 2} \geqslant 3 \\ \\ x(x + 1) > 0 \\ x∈( - \infty ; - 1)U(0 ;+ \infty ) \\ \\ \frac{ - 2x - 1}{x + 2} \geqslant 0 \\ x∈( - 2 ;- \frac{1}{2} ]$

пересекаем:

$x∈(- 2; - 1)$

объединяем два решения:

$x∈( - 2 ;- 1)U[ - \frac{1}{2}; 0)U(0 ,+ \infty )$