Question

Точка D находится на расстоянии 17 см от каждой вершины прямоугольного треугольника АВС (∠ACB = 90°). Найдите расстояние от точки D до плоскости АВС, если АС = 10√2 см, ВС = 2√14 см.

Answer 1

Ответ:

Расстояние от точки D до плоскости АВС 15 см.

DO = 15 см.

Объяснение:

Дано: ∠ACB = 90°, DO ⊥ ABC, AD = BD = CD = 17 см, $AC = 10\sqrt{2}$ см, $BC = 2\sqrt{14}$ см

Найти: DO - ?

Решение: Так как точка D равноудалена от каждой вершины треугольника(по условию AD = BD = CD), то согласно теореме она проектируется в центр описанной окружности треугольника. Так как центр описанной окружности лежит на гипотенузе и делит гипотенузу пополам, то точка D проектируется в точку O которая является серединой гипотенузы AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник ΔABC(по условию ∠ABC = 90°). По теореме Пифагора: $AB = \sqrt{AC^{2} + BC^{2} } = \sqrt{(10\sqrt{2} )^{2}+ (2\sqrt{14} )^{2}} = \sqrt{200 + 56} = \sqrt{256} = 16$ см.

Так как точка O является серединой гипотенузы AB, то AO = OB =

AB : 2 = 16 : 2 = 8 см. Треугольник ΔAOD - прямоугольный так как DO ⊥ ABC по условию. По теореме Пифагора: $OD = \sqrt{AD^{2} -AO^{2} } = \sqrt{17^{2} -8^{2} } = \sqrt{289 - 64} = \sqrt{225} = 15$ см.