Question

Помогите пожалуйста исследовать функцию по плану y=x^2+4/x

Answer 1

$y = x^2 + \dfrac{4}{x}$

Для начала найдём область определения функции.

1) $D(y):\ x\neq 0$

Определим, является эта функция чётной, нечётной или же ни чётной, ни нечётной.

2)  $f(-x) = (-x)^2 + \dfrac{4}{-x} = x^2 - \dfrac{4}{x} \neq f(x) \neq -f(x)$  - следовательно, функция не является ни чётной, ни нечётной.

Найдём точки пересечения с осью Ox (y = 0).

3)

$y = 0\\\\x^2 + \dfrac{4}{x} = 0\\\\\\\dfrac{x^3+4}{x} = 0\\\\\\x^3 + 4 = 0\\\\x^3 = -4\\\\\boxed{x = -\sqrt[3]{4}}$

Найдём точки пересечения с осью Oy (x = 0).

4) Так как x ≠ 0 (см. область определения), то точек пересечения графика функции с осью Oy нет.

Найдём промежутки знакопостоянства.

5)

             +                         -                            +

-----------------------о-----------------------о-----------------------> x

                        $-\sqrt[3]{4}$                        $0$

Функция положительна при  $x\in \left(-\infty;\ -\sqrt[3]{4}\right);\ (0;\ +\infty)$ .

Функция отрицательна при  $x\in \left(-\sqrt[3]{4}\ ;\ 0\right)$ .

Найдём асимптоты графика функции.

6) вертикальная асимптота:  $\boxed{x = 0}$ .

$\lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{f(x)}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{x^2 + \dfrac{4}{x}}{x}\right) = \lim_{x \to \infty} \left(\dfrac{\dfrac{x^3 + 4}{x}}{x}\right) =\\\\\\= \lim_{x \to \infty}\left(\dfrac{x^3+4}{x^2}\right) = \lim_{x \to \infty}\left(x + \dfrac{4}{x^2}\right)$

Предел равен  $+\infty$ . Горизонтальных асимптот не существует, наклонных асимптот не существует.

Вычислим производную и найдём критические точки функции.

7)

$y' = \left(x^2\right)' + \left(\dfrac{4}{x}\right)' = 2x - \dfrac{4}{x^2} = \boxed{\dfrac{2x^3 - 4}{x^2}}\\\\\\y' = 0\\\\\dfrac{2x^3 - 4}{x^2} = 0\\\\2x^3 - 4 = 0\\\\2x^3 = 4\\\\x^3 = 2\\\\\boxed{x = \sqrt[3]{2}}$

Найдём промежутки монотонности функции, точки экстремума и значение функции в этих точках.

8)

           -                        -                             +                 f'(x)

----------------------о------------------$\bullet$---------------------------------> x

           $\searrow$           $0$         $\searrow$        $\sqrt[3]{2}$             $\nearrow$                 f(x)

Функция убывает при  $x\in \left(-\infty;\ 0);\ \left(0;\ \sqrt[3]{2}\ \right]$ .

Функция возрастает при  $x \in \left[\sqrt[3]{2}\ ;\ +\infty\right)$ .

$\sqrt[3]{2}$  - точка минимума функции.

$y\left(\sqrt[3]{2}\ \right) = \left(\sqrt[3]{2}\right)^2 +\dfrac{4}{\sqrt[3]{2}} = \sqrt[3]{4}\ + 2\sqrt[3]{4} = \boxed{3\sqrt[3]{4}}$ .

Вычислим вторую производную.

9)  $y'' = (2x)' - \left(\dfrac{4}{x^2}\right)' = 2 + \dfrac{8x}{x^4} = 2 + \dfrac{8}{x^3} = \boxed{\dfrac{2x^3 + 8}{x^3}}$

Определим выпуклость функции и найдём точки перегиба.

10)

$y'' = 0\\\\\dfrac{2x^3 + 8}{x^3} = 0\\\\2x^3 + 8 = 0\\\\2x^3 = -8\\\\x^3 = -4\\\\x = -\sqrt[3]{4}$

             +                         -                            +

-----------------------о-----------------------о-----------------------> x

                        $-\sqrt[3]{4}$                        $0$

Функция выпукла вниз при  $x\in \left(-\infty;\ -\sqrt[3]{4}\right);\ (0;\ +\infty)$ .

Функция выпукла вверх при  $x\in \left(-\sqrt[3]{4}\ ;\ 0\right)$ .

Точка перегиба:  $-\sqrt[3]{4}$ .

Определим множество значений функции.

11)  $E(y) = \mathbb{R}$ .