Сторони паралелограма дорівнюють 6 см і 10 см, а кут - 60. Знайдіть діагоналі паралелограма і його площу
Ответы
Нужно знать:
1. Площадь параллелограмма находят по формуле S = a · b · sinα, где а и b - стороны параллелограмма, α - угол между сторонами.
2. sin60° = √3/2.
3. Теорема косинусов: квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними, т.е. а² = b² + c² - 2abcosα, где a, b, c - стороны треугольника, α - угол между сторонами.
4. cos(180° - α) = -cosα.
Поэтому:
Sпар = 6 · 10 · sin60° = 6 · 10 · √3/2 = 30√3 (см²).
Диагональ параллелограмма разбивает параллелограмм на треугольники, поэтому диагонали можно найти по теореме косинусов:
d₁² = a² + b² - 2ab · cos60° = 6² + 10² - 2 · 6 · 10 · 1/2 = 36 + 100 - 60 =
= 76, откуда d₁ = √76 = 2√19 (см);
т.к. сумма углов, прилежащих к одной стороне параллелограмма, равна 180°, то тупой угол параллелограмма равен 180° - 60° = 120°, тогда:
d₂² = a² + b² - 2ab · cos120° = 6² + 10² - 2 · 6 · 10 · cos 120° =
= 36 + 100 - 2 · 6 · 10 · ( -1/2) = 136 + 60 = 196, откуда d₂ = 14 (см).
Ответ: 2√19 см, 14 см, 30√3 см².
