Question

Раскрыть неопределенность(1)^8, используя второй замечательный предел$lim_{x to inft1(2-x)^ frac{2x}{1-x}$

Answer 1

$lim_{x to 1} (2-x)^{ frac{2x}{1-x} } = 1^{infty}$
неопределенность , преобразуем выражение
$lim_{x to 1} (2-x)^{ frac{2x}{1-x} } = lim_{x to 1} (1+(1-x))^{ frac{2x}{1-x} }$
сделаем замену
$1-x = t Rightarrow frac{1}{1-x} = frac{1}{t}$
тогда
$lim_{x to 1} (1+(1-x))^{ frac{2x}{1-x} } = lim_{x to 1} (1+t)^{ frac{2x}{t} } =$
$= lim_{x to 1} ((1+t)^{ frac{1}{t}})^{2x} } =e^{ lim_{x to 1} (2x)} = e^2$