Question

Как это решается?
$log {}^{2} _{0.25}(x) + log_{4}( \sqrt{x} ) > 1.5$
​

Answer 1

Ответ:

x€(0; 1/8)U(1/4; +oo)

Объяснение:

$log^{2} _{0.25}x + log_{4}x > 1.5$

ОДЗ: х>0

√х>0

х€(0; + oo)

1).

$log^{2} _{0.25}x = {( log_{0.25}x)}^{2} = {( log_{ \frac{1}{4} }x)}^{2} = {( log_{ {4}^{ - 1}}x) }^{2} = {( - log_{4}x) }^{2} = {( log_{4}x)}^{2}$

2).

$log_{4} \sqrt{x} = log_{4} {x}^{ \frac{1}{2}} = \frac{1}{2} \times log_{4}x$

3).

$log^{2} _{4}x + \frac{1}{2} \times log_{4}x > 1.5$

логарифмическое квадратное неравенство, замена переменной:

$log_{4}x = t \\ {t}^{2} + 0.5t - 1.5 > 0$

метод интервалов

${t}^{2} + 0.5t - 1.5 = 0 \\ t_{1} = - 1 \\ t_{2} = - 1.5$

++++++(-1,5)-------(-1)+++++>t

t<-1,5; t>-1

обратная замена:

$log_{4}x < - 1.5 \\ log_{4}x < log_{4} {4}^{ - 1.5} \\ x < {4}^{ - 1.5} \\ x < ( {2}^{2} )^{ - 1.5} \\ x < {2}^{ - 3} \\ x < \frac{1}{8}$

$log_{4}x > - 1 \\ log_{4}x > log_{4} {4}^{ - 1} \\ x > {4}^{ - 1} \\ x > \frac{1}{4}$

учитывая ОДЗ, получим

х€(0; 1/8)U(1/4; oo)

Answer 2

ОДЗ : x > 0

$log_{0,25}^{2}x+log_{4}\sqrt{x}>1,5\\\\log_{4}^{2}x+0,5log_{4}x-1,5>0\\\\log_{4}x=m\\\\m^{2}+0,5m-1,5>0\\\\(m-1)(m+1,5)>0$

    +          -              +

_____₀______₀______ m

       - 1,5           1

\\\\\\\\\\\              /////////////

$1)log_{4}x<-1,5\\\\x<4^{-1,5} \\\\x<(\frac{1}{4}) ^{\frac{3}{2} } \\\\x<\sqrt{(\frac{1}{4})^{3}}\\\\x<\frac{1}{8}\\\\2)log_{4}x>1\\\\x>4 \ \Rightarrow x \in(-\infty;\frac{1}{8})\cup(4;+\infty)$

С учётом ОДЗ окончательный ответ :

$\boxed{x\in(0 \ ; \ \frac{1}{8} ) \ \cup \ (4 \ ; \ +\infty)}$