Question

Помогите пожалуйста, задача Коши

Answer 1

Ответ:

1) Общее решение ОЛДУ:

$y'' - 3y' + 2y = 0 \\ y = {e}^{kt} \\ \\ {e}^{kt} ( {k}^{2} - 3 k + 2) = 0 \\ D= 9 - 8 = 1 \\ k_1 = \frac{3 + 1}{2} = 2 \\ k_2 = 1 \\ \\ y= C_1 {e}^{2t} + C_2 {e}^{t}$

2) Подбираем у с неопределенными коэффициентми:

$y = A {e}^{t} x$

$y = A {e}^{t} x + Ae {}^{t} = A {e}^{t} (x + 1)$

$y = A {e}^{t} (x + 1) + A {e}^{t} = \\ = A {e}^{t} (x + 2)$

В НЛДУ:

$A {e}^{t} (x + 2) - 3 A{e}^{t}(x + 1) + 2A {e}^{t} = {e}^{t} \\ A {e}^{t} x + 2Ae {}^{t} - 3A {e}^{t} x - 3A {e}^{t} + 2A {e}^{t} = {e}^{t} \\ - A {e}^{t} = e {}^{t} \\ A = - 1$

$y = - {e}^{t} x$

Общее решение НЛДУ:

$y = C_1 {e}^{2t} + C_2 {e}^{t} - {e}^{t} x$

Задача Коши:

$y(0) = 1,y'(0) = 0$

$y' = 2C_1 {e}^{2t} + C_2 {e}^{t} - {e}^{t} - {e}^{t} x$

Система:

$1 = C_1 + C_2 \\ 0 = 2C_1 + C_2 - 1 \\ \\ C_1 = 1 - C_2 \\ 2 - 2C_2 + C_2 = 1 \\ \\ C_2 = 1 \\ C_1 = 0$

$y = {e}^{t} - { e }^{t} x = {e}^{t} (1 - x)$

частное решение