Question

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=tgx, y=2/3cosx, x=0

Answer 1

Ответ:

Пошаговое объяснение:

В начале найдем правую абцису границы фигуры  - это точна пересечения tg x и 2/3*cos(x)

tg x= 2/3*cos x

sin x / cos x= 2/3 * cos x

sin x = 2/3 (cos x)^2,

в правой части cos x выражаем через sin x (cos^2+sin^2=1)

sin x = 2/3 (1 - (sin x)^2)

Решаем как квадратное уравнение относительно синуса,

sin x = 0.5, или sin x =-2

второй корень нам не нужен, т.к. насколько понимаю фигура идет вправо. Получаем, что

x=Pi/6;

Чтобы найти площадь под фигурой берем интеграл. Интеграл найдет площади под каждой кривой, а наша фигура - это разница этих площадей (см рисунок). Знаем, что тангенс идет из 0, а Cos из единицы, поэтому Cos -верхняя граница, Tan - нижняя.

Берем интегралы от данных по условию функций от 0 до Pi/6

int (2/3*Cos[x])=2/3Sin[x]

Подставляем пределы получаем 2/3Sin[Pi/6]=1/3-0=1/3

Тоже самое делаем для тангенса, получаем

int (tan[x])=-Ln [Cos x] подставляем пределы и получаем

-Ln[Cos(Pi/6)]+Log [Cos (0)];

упрощаем получаем -Ln[sqrt[3]/2]+Ln[1]=-Ln[sqrt[3]/2]

Тогда, искомая площадь F=F1-F2

1/3-(-Ln[sqrt[3]/2])=1/3+Ln[sqrt[3]/2]