Question

В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC (AB=BC). На дуге AB взята произвольная точка К и соединена хордами с вершинами треугольника. Доказать, что АК*КС=АВ^2 - КВ^2. С рисунком сделать решени.

Answer 1

△AKB, т косинусов

AB^2 =AK^2 +KB^2 -2AK*KB*cos(AKB)

∠AKB +∠ACB =180 (AKBC - вписанный)

cos(AKB) = -cos(ACB) = -AC/2BC

АК*КС =АВ^2 -КВ^2 <=>

KB^2 +AK*KC =AB^2 <=>

KB^2 +AK*KC =AK^2 +KB^2 -2AK*KB*cos(AKB) <=>

KC =AK -2KB*cos(AKB) <=>

KC =AK +KB*AC/BC <=> | *BC; AB=BC

AB*KC =AK*BC +KB*AC (теорема Птолмея)

Привели к теореме Птолмея, задача доказана.