Question

Верны ли утверждения?
1)Если площадь одного правильного треугольника в 2 раза больше площади другого правильного треугольника, то отношение их сторон равно 4

2)Если угол между двумя касательными проведенными из одной точки к данной окружности, равен 120 градусов, то расстояние между точками касания равно радиусу этой окружности

Answer 1

1) Отношение соответствующих сторон будет равно $sqrt{2} .$ Так как отношение площадей будет равно квадрату отношений соответствующих сторон.

Ответ: это утверждение неверно

2) Заметим, что получившийся треугольник, образованный двумя касательными и хордой окружности будет равнобедренным. Так как касательные, проведенные из одной точки будут равными. Значит углы при основании хорде будут одинаковыми. Вычислим сколько градусов будет иметь угол при основании этого равнобедренного треугольника. По теореме о сумме углов треугольника

х+х+120=180

2х=180-120
2х=60
х=60:2
х=30 градусов.

Заметим. что треугольник, образованный хордой и центром окружности - тоже равнобедренный. Основанием этого треугольника будет снова хорда. А вот радиусы  - боковые стороны нового треугольника. Теперь найти угол при основании этого треугольника будет несложно. Так как угол между касательной и радиусом равен 90 градусов. Угол между касательной и радиусом (90) = угол между касательной и хордой (30)+ угол между хордой и радиусом (этот угол надо найти).

90=30+а
а=90-30
а=60 градусов.

Значит два угла при основании у нового треугольника равны 60 градусов.  На угол при вершине остается (по теореме о сумме углов треугольника)

180-(60+60)=180-120=60.

То есть у нового треугольника все углы по 60 градусов. Значит треугольник - равносторонний. Значит хорда будет равна радиусу окружности.

Ответ: это утверждение верно.