Question

a, b, c – длины сторон некоторого треугольника.   докажите, что a^2(b+c-a) +b^2(a+c-b) + c^2(a+b-c)=<3abc

Answer 1

$a^2(b+c-a)+b^2(a+c-b)+c^2(a+b-c) leq 3abc\ b+c geq a\ a+c geq b\ a+b geq c\\ a^2(b+c-a)+b^2(a+c-b)+c^2(a+b-c) leq 3(b+c)(a+c)(a+b)$
$(b+c)(b+c-a)+(a+c)(a+c-b)+(a+b)(a+b-c)$$leq 3(b+c)(a+c)(a+b)$
 После преобразований получим 
 $(b+c)^2+(a+c)^2+(a+b)^2 leq$$3(b+c)(a+c)(a+b)+a(b+c)+b(a+c)+c(a+b)$
С учетом неравенств 
$2a^2+2b^2+2c^2+2bc+2ac+2ab$$leq 3(b+c)(a+c)(a+b)+a^2+b^2+c^2$
$a^2+b^2+c^2+2bc+2ac+2ab leq 3(b+c)(a+c)(a+b)$
$(a+b+c)^2 leq 3(b+c)(a+c)(a+b)$
$(a+b)^2+(b+c)^2+((a+c)^2-(b^2+c^2+a^2)) leq 3(b+c)(a+c)(a+b)\ frac{(a+b)^2+(b+c)^2+((a+c)^2-(b^2+c^2+a^2))}{3} leq (b+c)(a+c)(a+b)$
пользуясь неравенством о средних 
$sqrt[3]{(a+b)^2*(b+c)^2*((a+c)^2-(b^2+c^2+a^2))}$
очевидно что будет меньше правого