Question

70 БАЛЛОВ. Упростите тригонометрическое выражение.

Answer 1

$\sin^6\dfrac x2-\cos^6\dfrac x2-\bigg(\dfrac{\sin^2x}4-1\bigg)\cdot \cos x=(*)$

Для первой разности используем формулу разности кубов, косинуса двойного аргумента, квадрата суммы и синуса двойного аргумента:

$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)\\\cos^2(\alpha/2) -\sin^2(\alpha/2)=\cos \alpha\\a^2+2ab+b^2=(a+b)^2\\2\sin(\alpha /2)\cos(\alpha /2)=\sin \alpha$

$\sin^6\dfrac x2-\cos^6\dfrac x2=\Big(\sin^2\dfrac x2\Big)^3-\Big(\cos^2\dfrac x2\Big)^3=$

$=\bigg(\sin^2\dfrac x2-\cos^2\dfrac x2\bigg)\bigg(\sin^4\dfrac x2+\sin^2\dfrac x2\cdot\cos^2\dfrac x2+\cos^4\dfrac x2\bigg)=\\\\=-\cos x\cdot\bigg(\Big(\sin^2\dfrac x2\Big)^2+2\sin^2\dfrac x2\cdot\cos^2\dfrac x2+\Big(\cos^2\dfrac x2\Big)^2-\sin^2\dfrac x2\cdot\cos^2\dfrac x2\bigg)=\\\\=-\cos x\cdot\bigg(\Big(\sin^2\dfrac x2+\cos^2\dfrac x2\Big)^2-\dfrac14\cdot\Big( 2\sin\dfrac x2\cdot\cos\dfrac x2\Big)^2\bigg)=\\\\=-\cos x\cdot\bigg(1^2-\dfrac14\cdot\sin^2x\bigg)=\bigg(\dfrac{\sin^2x}4-1\bigg)\cos x$

В результате разность двух одинаковых выражений равна нулю.

$(*)=\bigg(\dfrac{\sin^2x}4-1\bigg)\cdot \cos x-\bigg(\dfrac{\sin^2x}4-1\bigg)\cdot \cos x=0$

Ответ: 0.